この章では二階線形微分方程式の解法について解説します。基本解、一般解、特殊解(余関数)の求め方やロンスキアンや特性方程式など一階線形微分方程式より学ぶことが多く、また解法が複雑ですが、詳しく解説していきますので安心してください。
二階線形微分方程式は下のような式で表わされます。
\[y" + P(x)y' + Q(x)y = R(x) ①\]
この方程式の右辺が $(R(x) = 0)$ であるものを同次方程式、$(R(x) \neq 0)$ であるものを非同次方程式といいます。
二階の非同次線形微分方程式の一般解 $y$ は 非同次方程式の特殊解 $y_{0}$ と 同次方程式の一般解 $Y$ の和 $y = y_{0} + Y$ になります。なぜこのような解の構造になるのか解説します。
$y$ と $y_{0}$ を式①の非同次方程式に代入してみましょう。
$y" + P(x)y' + Q(x)y = R(x) ②$
$y_{0}" + P(x)y_{0}' + Q(x)y_{0} = R(x) ③$
式②から式③を引くと、
$(y - y_{0})" + P(x)(y - y_{0})' + Q(x)(y - y_{0}) = 0$
この式と式①の同次方程式を比較すると、同次方程式の一般解 $Y = y - y_{0}$ であることが分かります。この式を変形すると二階の非同次線形微分方程式の一般解 $y$ が $y = y_{0} + Y$ と表せることが分かります。
では次に、同次方程式の一般解$ Y $ がどのように表されるか確かめてみましょう。
$y_{1}$ と $y_{2}$ が①の同次方程式の基本解だとすると、同次方程式の一般解 $Y$ は $Y = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}$ と表されます。
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二階線形微分方程式の同次方程式
二階微分方程式には必ず2つの1次独立な解(基本解)が存在します。ロンスキアンは2つの解が1次独立かどうかを判定するために利用します。ロンスキアンが0になること、つまり
この二階線形微分方程式の一般解は $ y = y_{ 0 } + C_{ 1 }y_{ 1 } + C_{ 2 }y_{ 2 } $ と表されます。この一般解の $ y_{ 0 } $ は特殊解、$ C_{ 1 }y_{ 1 } + C_{ 2 }y_{ 2 } $ は同次方程式の一般解です。
この同次方程式の一般解 $ C_{ 1 }y_{ 1 } + C_{ 2 }y_{ 2 } $ の $ y_{ 1 }$ と $y_{ 2 } $ は一次独立な解になります。この判定方法としてロンスキアン $ W(y_{ 1 },y_{ 2 }) $というものがあります。ロンスキアンの定義式は下のようになります。
\[W(y_{ 1 },y_{ 2 }) = \begin{vmatrix} y_{ 1 } & y_{ 2 } \\ y'_{ 1 } & y'_{ 2 } \end{vmatrix} = y_{ 1 } y'_{ 2 } - y'_{ 1 }y_{ 2 } \]
このロンスキアンが、 $ W(y_{ 1 },y_{ 2 }) \neq 0 $ のときに $ y_{ 1 }$ と $y_{ 2 } $ は一次独立な解になる。
二階線形微分方程式の一般解yは、特殊解 $ y_{0}$ (非同次方程式の解)と一般解Y(同次方程式の解)からなり、以下のように表されます。
\[y = y_{0} + Y \]
では、なぜ二階線形微分方程式の一般解がこのように表されるのか説明します。下の2つの式を見てください。
yも $ y_{0}$ も二階線形微分方程式の一般解と特殊解なので、以下のようにおけます。
$ y" + P(x)y' + Q(x)y = R(x) 式A$
$ y_{0}" + P(x)y_{0}' + Q(x)y_{0} = R(x) 式B$
式Aから式Bを引くと、
$ (y - y_{0})" + P(x)(y - y_{0})' + Q(x)(y - y_{0}) = 0 $
この式をよく見てみると、二階線形微分方程式の同次方程式の形をしていることが分かります。この同次方程式の一般解Yは、$ y - y_{0} = Y $ となるので、
$ y = y_{0} + Y $
となります。
定数係数二階同次微分方程式について以下にまとめます。
定数係数二階同次微分方程式はこのような式で表されます。
\[ y" + P(x)y' + Q(x)y = R(x) \]
上式の同次方程式 $ y" + ay' + by = 0 (a, b : 定数) $ の一般解は次のように求められます。
特性方程式 $ λ^2 + aλ + b = 0 $ の2つの解 $ λ_{1}, λ_{2} $ について、
(i) $ λ_{1}, λ_{2} $ が相違なる2実数解であるとき、
・基本解は、 $ e^{λ_{1}x}, e^{λ_{2}x} $ であり、
・一般解は、 $ y = C_{1}e^{λ_{1}x} + C_{2} e^{λ_{2}x} $ となる。
$ C_{1} , C_{2} $ は任意定数
(ii) $ λ_{1}= λ_{2} $ が重解を持つとき、
・基本解は、 $ e^{λ_{1}x}, xe^{λ_{1}x} $ であり、
・一般解は、 $ y = C_{1}e^{λ_{1}x} + C_{2} xe^{λ_{1}x} = (C_{1} + C_{2}x) e^{λ_{1}x} $ となる。
(iii) $ λ_{1}, λ_{2} $ が相違なる共役な虚数解であるとき、
$ λ_{1} = α + iβ, λ_{2} = α + iβ (α,β(≠0):実数)$ とおくと、
・基本解は、 $ e^{αx}\cos{βx}, e^{αx}\sin{βx} $ であり、
・一般解は、 $ y = C_{1}e^{αx}\cos{βx} + C_{2}e^{αx}\sin{βx} = e^{αx}(C_{1}\cos{βx} + C_{2}\sin{βx}) $ となる。